ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ:ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ:

ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ

Τα στάσιμα κύματαΤα στάσιμα κύματα

7272

  Τι είναι τα στάσιμα κύματα;

Στην προηγούμενη ενότητα είδαμε το αποτέλεσμα που έχει η ταυτόχρονη διάδοση δυο κυμάτων στην επιφάνεια ενόςελαστικού μέσου.

γραμμικούελαστικού μέσουΣτην ενότητα αυτή θα ασχοληθούμε με την ταυτόχρονη διάδοση και τα αποτελέσματά της, κατά μήκος ενός γραμμικούελαστικού μέσου, μιας τεντωμένης χορδής για παράδειγμα.

Η ιδιόμορφη κατάσταση που δημιουργείται απ’ τη συμβολή δυο αντιθέτων κυμάτων πάνω σ’ έναγραμμικό ελαστικό μέσο ονομάζεται στάσιμο κύμα.Η ιδιόμορφη κατάσταση που δημιουργείται απ’ τη συμβολή δυο αντιθέτων κυμάτων πάνω σ’ έναγραμμικό ελαστικό μέσο ονομάζεται στάσιμο κύμα.

7373

Παρατηρούμε ότι στην εξίσωση του στάσιμου κύματος υπάρχουν δυο παράγοντες:

Ένας ανεξάρτητος απ’ τον χρόνο αλλά εξαρτώμενος απ’ τη θέση του σημείου  και τον οποίο ονομάζουμε«πλάτος του στασίμου κύματος»Ένας ανεξάρτητος απ’ τον χρόνο αλλά εξαρτώμενος απ’ τη θέση του σημείου  και τον οποίο ονομάζουμε«πλάτος του στασίμου κύματος»

  

        Όπως αναμενόταν, τα σημεία της χορδής δεν ταλαντώνονται με το ίδιο πλάτος και το πλάτος εξαρτάταιαπ’ τις θέσεις τους πάνω στη χορδή.        Όπως αναμενόταν, τα σημεία της χορδής δεν ταλαντώνονται με το ίδιο πλάτος και το πλάτος εξαρτάταιαπ’ τις θέσεις τους πάνω στη χορδή.

 Ο δεύτερος παράγοντας, ημ2πft, είναι εξαρτώμενος απ’ τον χρόνο και διαμορφώνει τις στιγμιαίες τιμέςστην ταλάντωση των διαφόρων σημείων. Ο δεύτερος παράγοντας, ημ2πft, είναι εξαρτώμενος απ’ τον χρόνο και διαμορφώνει τις στιγμιαίες τιμέςστην ταλάντωση των διαφόρων σημείων.

  

Οι σχέσεις που θα προκύψουν στην ανάλυση που ακολουθεί  ισχύουν με την προϋπόθεση ότι τα κύματα συναντώνται στηναρχή των αξόνων (x=0) τη χρονική στιγμή t=0.Οι σχέσεις που θα προκύψουν στην ανάλυση που ακολουθεί  ισχύουν με την προϋπόθεση ότι τα κύματα συναντώνται στηναρχή των αξόνων (x=0) τη χρονική στιγμή t=0.

  

7474

7575

Τα σημεία πάνω στο γραμμικό ελαστικό μέσο, που ταλαντώνονταιΤα σημεία πάνω στο γραμμικό ελαστικό μέσο, που ταλαντώνονται

 με διπλάσιο πλάτος απ’ αυτό των τρεχόντων κυμάτων, αναφέρονται με διπλάσιο πλάτος απ’ αυτό των τρεχόντων κυμάτων, αναφέρονται

ως κοιλίες.ως κοιλίες.

Τα σημεία πάνω στο γραμμικό ελαστικό μέσο, που παραμένουνΤα σημεία πάνω στο γραμμικό ελαστικό μέσο, που παραμένουν

συνεχώς ακίνητα, αναφέρονται ως δεσμοί.συνεχώς ακίνητα, αναφέρονται ως δεσμοί.

 

7676

  Σημαντική παρατήρηση:

Ας μη θεωρηθούν τα στάσιμα κύματα κάτι ξεχωριστό από τηνσυμβολή που μελετήσαμε στο προηγούμενο μάθημα.

Αν περιορίσουμε την ανάλυση που κάναμε, για τη συμβολή τωνκυμάτων, στο ευθύγραμμο τμήμα ανάμεσα στις δυο πηγές, εύκολα θαδιαπιστώσουμε ότι πρόκειται για ένα στάσιμο κύμα.

Οι δεσμοί είναι τα σημεία τομής των υπερβολών απόσβεσης με τοευθύγραμμο τμήμα των πηγών καιΟι δεσμοί είναι τα σημεία τομής των υπερβολών απόσβεσης με τοευθύγραμμο τμήμα των πηγών και

Οι κοιλίες είναι τα σημεία τομής των υπερβολών ενίσχυσης με τοευθύγραμμο τμήμα των πηγών.Οι κοιλίες είναι τα σημεία τομής των υπερβολών ενίσχυσης με τοευθύγραμμο τμήμα των πηγών.

Αν θυμηθούμε την τεχνική που χρησιμοποιούμε για να βρούμε τοπλήθος των υπερβολών θα διαπιστώσουμε ότι η τελική σχέση

(πχ για τις υπερβολές απόσβεσης:

                                                                                                             )

είναι η ίδια με τη σχέση που πήραμε για τις κοιλίες και τους δεσμούςαπό το πλάτος του στάσιμου κύματος.

7777

Στην διπλανή εικόνα βλέπουμε δυοαντίθετα κύματα να συναντώνται σ’ένα σημείο του ελαστικού μέσουκάποια στιγμή την οποία αςθεωρήσουμε t=0. Βλέπουμε  ότι Τ/4μετά τη συνάντηση, το ένα κύμαέχει προχωρήσει κατά λ/4 προς ταδεξιά και το άλλο λ/4 προς τ’αριστερά. Έτσι σε μια περιοχήμήκους λ/2 έχουμε συμβολή.

Μελετώντας την εικόνα προσεχτικάμπορούμε να δούμεχαρακτηριστικές ιδιότητες -διαφορές των στασίμων κυμάτωναπ’ τα τρέχοντα:Μελετώντας την εικόνα προσεχτικάμπορούμε να δούμεχαρακτηριστικές ιδιότητες -διαφορές των στασίμων κυμάτωναπ’ τα τρέχοντα:

 

Η περιοχή αυτή αναφέρεται μετο όνομα «άτρακτος» και έχειμήκος  dατράκτου=λ/2Η περιοχή αυτή αναφέρεται μετο όνομα «άτρακτος» και έχειμήκος  dατράκτου=λ/2

Όλα τα σημεία ανάμεσα σε δυοδιαδοχικούς δεσμούς είναι σεσυμφωνία φάσης και η διαφοράφάσης τους είναι μηδέν.Όλα τα σημεία ανάμεσα σε δυοδιαδοχικούς δεσμούς είναι σεσυμφωνία φάσης και η διαφοράφάσης τους είναι μηδέν.

Όλα αυτά τα σημεία φτάνουνταυτόχρονα στα μέγιστά τους πουείναι διαφορετικά για το καθένααπό 0 έως 2Α .Όλα αυτά τα σημεία φτάνουνταυτόχρονα στα μέγιστά τους πουείναι διαφορετικά για το καθένααπό 0 έως 2Α .

Το σημείο αυτό είναικοιλίαΤο σημείο αυτό είναικοιλία

Τα σημεία αυτάείναι δεσμοίΤα σημεία αυτάείναι δεσμοί

Εκατέρωθεν ενός δεσμούτα σημεία είναι σεαντίθεση φάσης και έχουνδιαφορά φάσης π.Εκατέρωθεν ενός δεσμούτα σημεία είναι σεαντίθεση φάσης και έχουνδιαφορά φάσης π.

Όλα τα σημεία περνάνεταυτόχρονα απ’ τη θέσηισορροπίας τους. Άρα τιςστιγμές αυτές τοστιγμιότυπο του στασίμουείναι μια ευθεία.Όλα τα σημεία περνάνεταυτόχρονα απ’ τη θέσηισορροπίας τους. Άρα τιςστιγμές αυτές τοστιγμιότυπο του στασίμουείναι μια ευθεία.

7878

Η ύπαρξη των δεσμών  (μόνιμα ακίνητων σημείων) πάνω ένα γραμμικό ελαστικό μέσο (χορδή) έχει σαναποτέλεσμα τον τοπικό εγκλωβισμό της ενέργειας ανάμεσα σε δυο τέτοια διαδοχικά σημεία.Η ύπαρξη των δεσμών  (μόνιμα ακίνητων σημείων) πάνω ένα γραμμικό ελαστικό μέσο (χορδή) έχει σαναποτέλεσμα τον τοπικό εγκλωβισμό της ενέργειας ανάμεσα σε δυο τέτοια διαδοχικά σημεία.

Σ’ αυτό οφείλεται και η ονομασία του φαινομένου, ως στάσιμο κύμα, που δηλώνει τη βασική διαφορά απ’ τατρέχοντα κύματα στα οποία έχουμε μια συνεχή διάδοση ενέργειας.Σ’ αυτό οφείλεται και η ονομασία του φαινομένου, ως στάσιμο κύμα, που δηλώνει τη βασική διαφορά απ’ τατρέχοντα κύματα στα οποία έχουμε μια συνεχή διάδοση ενέργειας.

τα πλάτη των σημείων του ελαστικού μέσου που ενώ στα τρέχοντα είναι Α για όλα τα σημεία, στο στάσιμο είναιαπό 0 έως 2Α ανάλογα με τη θέση του σημείου.τα πλάτη των σημείων του ελαστικού μέσου που ενώ στα τρέχοντα είναι Α για όλα τα σημεία, στο στάσιμο είναιαπό 0 έως 2Α ανάλογα με τη θέση του σημείου.

Η διαφορά φάσης μεταξύ δυο σημείων του τρέχοντος κύματος μπορεί να έχει οποιαδήποτε τιμή (Δφ≠0) ανάλογαμε την απόσταση των σημείων. Στα στάσιμα η διαφορά φάσης δυο σημείων είναι ή  0  ή  π, ανάλογα με τηθέση των σημείων.Η διαφορά φάσης μεταξύ δυο σημείων του τρέχοντος κύματος μπορεί να έχει οποιαδήποτε τιμή (Δφ≠0) ανάλογαμε την απόσταση των σημείων. Στα στάσιμα η διαφορά φάσης δυο σημείων είναι ή  0  ή  π, ανάλογα με τηθέση των σημείων.

Η απόσταση δυο διαδοχικών δεσμών είναι λ/2 το ίδιο και η απόσταση δυο διαδοχικών κοιλιών.Η απόσταση ενός δεσμού απ’ την πλησιέστερη κοιλία είναι λ/4.Η απόσταση δυο διαδοχικών δεσμών είναι λ/2 το ίδιο και η απόσταση δυο διαδοχικών κοιλιών.Η απόσταση ενός δεσμού απ’ την πλησιέστερη κοιλία είναι λ/4.

Προσοχή:Προσοχή:

το στιγμιότυπο του στάσιμου ΔΕΝ γίνεται με  την  τεχνική  που αναφέραμε στα τρέχοντατο στιγμιότυπο του στάσιμου ΔΕΝ γίνεται με  την  τεχνική  που αναφέραμε στα τρέχοντα

  

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 8: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 8: Δυο αρμονικά κύματα διαδίδονται πάνω σε τεντωμένη χορδή x΄Ox χωρίς απώλειες ενέργειας μεεξισώσεις:

 

Να βρείτε:

α. Την εξίσωση του στάσιμου κύματος και τις εξισώσεις που δίνουν τις θέσεις των  κοιλιών και των δεσμών.

β. Να προσδιορίσετε τον αριθμό των δεσμών και των κοιλιών που σχηματίζονται μεταξύ των σημείων Μ και Λ τα οποίαβρίσκονται στις θέσεις xΜ=+0,85m και xΛ=+1,3m

 

7979

γ. Να υπολογίσετε τη χρονική στιγμή t1 που δημιουργείται ο δεσμός που βρίσκεται  πλησιέστερα στο Λ.

δ. Να σχεδιάσετε το  στιγμιότυπο του στάσιμου κύματος ανάμεσα στα σημεία Μ και Λ, τη στιγμή που τα σημεία πουταλαντώνονται βρίσκονται στη θέση μέγιστης δυναμικής ενέργειας μετά την t1 και το σημείο Μ έχει θετική απομάκρυνση.

8080

8181

8282

•Στάσιμο κύμα σε περιορισμένο χώρο•Στάσιμο κύμα σε περιορισμένο χώρο

Στη μέχρι τώρα ανάλυση, το γραμμικό ελαστικό μέσο στο οποίο διαδιδόντουσαν  τα κύματα και συνέβαλαν, είχε «άπειρο»μήκος ( άξονας x΄Ox). Στην περίπτωση αυτή μπορεί να δημιουργηθεί στάσιμο κύμα με οποιαδήποτε συχνότητα τωντρεχόντων κυμάτων.

κύματος σε γραμμικό ελαστικό μέσο μεπεριορισμένες διαστάσεις.Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση δημιουργίας στασίμου  κύματος σε γραμμικό ελαστικό μέσο μεπεριορισμένες διαστάσεις.

i.  το μήκος του  και   ii. τα άκρα τουΌταν το ελαστικό μέσο έχει περιορισμένες διαστάσεις, τότε   i.  το μήκος του  και   ii. τα άκρα του

επιβάλλουν κάποιες περιοριστικές συνθήκες, οι οποίες αν δεν πληρούνται δεν δημιουργείται στάσιμο κύμα.

  Περίπτωση1η:

Δημιουργία στάσιμου σε χορδή με ακλόνητα άκρα.

τα δυο άκραΣτην περίπτωση αυτή θα πρέπει τα δυο άκρα, μιας και είναι ακλόνητα στερεωμένα, να αποτελούν

δεσμούς στο στάσιμο που θα δημιουργηθεί. Συνεπώς στο μήκος του ελαστικού μέσου θα

πρέπει να «χωρέσει» ένα ακέραιο πλήθος ατράκτων, όπως δείχνει και

η διπλανή εικόνα. Δεδομένου το κάθε στάσιμο κύμα (άτρακτος) έχει μήκος  λστάσιμο=λ/2,

το μήκος της χορδής πρέπει να πληροί τη συνθήκη:

 

 

· Οι συχνότητες που προκύπτουν απ’ την παραπάνω σχέση είναι οι μοναδικές που επιτρέπεται να έχουν τατρέχοντα κύματα προκειμένου να δημιουργηθεί στάσιμο κύμα. Κάθε άλλη συχνότητα οδηγεί σε συμβολή πουπολύ γρήγορα αποσβένεται και χάνεται.

· Οι συχνότητες αυτές λέγονται ιδιοσυχνότητες (ή φυσικές συχνότητες) της χορδής.

Κάθε έγχορδο μουσικό όργανο «οφείλει» το χαρακτηριστικό ήχο του στο φαινόμενο  που περιγράψαμε.  Όταν χτυπάμε με τηνπένα τη χορδή μιας κιθάρας, για παράδειγμα,  το σημείο   διέγερσης γίνεται πηγή κυμάτων διαφόρων συχνοτήτων.

Απ’ αυτά μόνο όσα πληρούν την παραπάνω σχέση  «μένουν» και δημιουργούν στάσιμα κύματα.

Αποτέλεσμα αυτών των συνθέσεων είναι να πάλλεται η χορδή με τη βασική συχνότητα (και παράγει το βασικό ήχο)  αλλάταυτόχρονα  να κάνει  σύνθετη  δόνηση  μεταξύ  της  βασικής συχνότητας  και κάποιων ανώτερων συχνοτήτων (λέγονταικαι αρμονικές συχνότητες: 2η αρμονική, 3η αρμονική..).

· Το πλήθος και το  ποιες αρμονικές συντίθενται με το βασικό ήχο, εξαρτάται απ’ το είδος της χορδής αλλά και τοντρόπο διέγερσης (με πένα, με δοξάρι κλπ). Έτσι αποκτάται η διαφορετική χροιά στον ήχο που ακούμε.

 

Κάθε έγχορδο μουσικό όργανο «οφείλει» το χαρακτηριστικό ήχο του στο

φαινόμενο  που περιγράψαμε.  Όταν χτυπάμε με την πένα τη χορδή μιας

κιθάρας, για παράδειγμα,  το σημείο   διέγερσης γίνεται πηγή κυμάτων

διαφόρων συχνοτήτων. Απ’ αυτά μόνο όσα πληρούν την παραπάνω σχέση  «μένουν» και δημιουργούν στάσιμα κύματα.Αποτέλεσμα αυτών των συνθέσεων είναι να πάλλεται η χορδή με την θεμελιώδη συχνότητα (πρώτη αρμονική καιπαράγει τον βασικό ήχο) αλλά ταυτόχρονα  να κάνει  σύνθετη  δόνηση  μεταξύ  της  θεμελιώδους συχνότητας  καικάποιων ανώτερων αρμονικών συχνοτήτων.  

Οι συχνότητες που προκύπτουν απ’ την παραπάνω σχέση είναι οιμοναδικές που επιτρέπεται να έχουν τα τρέχοντα κύματαπροκειμένου να δημιουργηθεί στάσιμο κύμα. Κάθε άλλη συχνότηταοδηγεί σε συμβολή που πολύ γρήγορα αποσβένεται και χάνεται.Οι συχνότητες που προκύπτουν απ’ την παραπάνω σχέση είναι οιμοναδικές που επιτρέπεται να έχουν τα τρέχοντα κύματαπροκειμένου να δημιουργηθεί στάσιμο κύμα. Κάθε άλλη συχνότηταοδηγεί σε συμβολή που πολύ γρήγορα αποσβένεται και χάνεται.

Οι συχνότητες αυτές λέγονται ιδιοσυχνότητες (ή αρμονικέςσυχνότητες) της χορδής.Οι συχνότητες αυτές λέγονται ιδιοσυχνότητες (ή αρμονικέςσυχνότητες) της χορδής.

8383

Το πλήθος και το  ποιες αρμονικές συντίθενται με το βασικό ήχο, εξαρτάται απ’ το είδος της χορδής αλλάκαι τον τρόπο διέγερσης (με πένα, με δοξάρι κλπ).

Έτσι αποκτάται η διαφορετική χροιά στον ήχο που ακούμε. Δηλαδή ενώ ένα βιολί και μια κιθάρα μπορεί ναπαίζουν την ίδια νότα, η χροιά του ήχου είναι διαφορετική.

8484

Ταλάντωση χορδής βιολιού σε super slow motion

Περίπτωση2η:

Δημιουργία στάσιμου σε χορδή με ακλόνητο το ένα άκρο.

στο ακλόνητο άκρο θα πρέπει  ναδημιουργηθεί δεσμός ενώ στο ελεύθερο άκρο κοιλία, Στην περίπτωση αυτή η περιοριστική συνθήκη είναι ότι στο ακλόνητο άκρο θα πρέπει  ναδημιουργηθεί δεσμός ενώ στο ελεύθερο άκρο κοιλία, όπως φαίνεται στη διπλανή εικόνα.

Στο διαθέσιμο μήκος του ελαστικού μέσου, πρέπει να «εμφανιστούν» ή μισό στάσιμο κύμα ή ένακαι μισό ή δυο και μισό .... Έτσι, για τον προσδιορισμό των επιτρεπτών συχνοτήτων τωνκυμάτων που θα προκαλέσουν το στάσιμο κύμα, θα είναι:

 

8585

Την ανάκλαση σε ελεύθερο άκρο τη συναντάμε στα  πνευστά μουσικά όργανα.

Τα ηχητικά κύματα (διαμήκη κύματα) που διαδίδονται στον αέρα που περιέχειο ηχητικός σωλήνας του οργάνου, ανακλώνται σε ακλόνητα τοιχώματα ή σεανοιχτά  άκρα.

Τα κύματα συμβάλλουν σύμφωνα με τους περιορισμούς που αναφέραμε καιπαράγεται έτσι ο ήχος του πνευστού με τη χαρακτηριστική χροιά για κάθεόργανο.

Στην εικόνα βλέπουμε δυο ηχητικούς σωλήνες στους οποίους δημιουργούμεστάσιμα κύματα.

(Στην εικόνα έχουν παρασταθεί τα διαμήκη στάσιμα κύματα, που δημιουργούνταιστην πραγματικότητα, σαν εγκάρσια για να γίνει κατανοητή η μορφή  τους.)

 

Στα στάσιμα ηχητικά κύματα (στάσιμα διαμήκη) στους δεσμούς (σημεία μηδενικής μετατόπισης) έχουμε μέγιστη μεταβολήτης πίεσης του αέρα  (θυμηθείτε ότι εκατέρωθεν δεσμού έχουμε αντίθετες κινήσεις των μορίων).Στα στάσιμα ηχητικά κύματα (στάσιμα διαμήκη) στους δεσμούς (σημεία μηδενικής μετατόπισης) έχουμε μέγιστη μεταβολήτης πίεσης του αέρα  (θυμηθείτε ότι εκατέρωθεν δεσμού έχουμε αντίθετες κινήσεις των μορίων).

Στις κοιλίες δεν έχουμε μεταβολή της πίεσης.  Άρα ο ήχος προέρχεται απ΄ τους δεσμούς.Στις κοιλίες δεν έχουμε μεταβολή της πίεσης.  Άρα ο ήχος προέρχεται απ΄ τους δεσμούς.

  

8686

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 9: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 9: Ένα διαπασών συγκρατείται στο χείλος ενός άδειου ογκομετρικού σωλήνα ύψους 155,25cm. Τοδιαπασών ηχεί με συχνότητα f, ο ήχος του διαδίδεται μέσα στον σωλήνα και ανακλάται στον πυθμένα του, οπότε τοπροσπίπτον κύμα και το ανακλώμενο συντίθενται και σχηματίζουν στάσιμο κύμα στο εσωτερικό του σωλήνα. Στην αρχή οήχος που ακούμε είναι έντονος. Στη συνέχεια, ρίχνοντας στο σωλήνα νερό, ο ήχος γίνεται ασθενής ενώ κάποια στιγμήακούμε πάλι έντονο ήχο. Τη στιγμή εκείνη το ύψος του νερού είναι 34,5cm. Αν  υήχου=345m/s

α. Να υπολογίσετε τη συχνότητα του ήχου.

 

β. Αν συνεχίσουμε να γεμίζουμε το σωλήνα με νερό, πόσες φορές θα  ακούσουμε

   έντονο  ήχο;

 

8787

Για τους μαθητές του φροντιστηρίουΓια τους μαθητές του φροντιστηρίου

ΑΝΟΔΙΚΟΑΝΟΔΙΚΟ

Τέλος ΚεφαλαίουΤέλος Κεφαλαίου

8888