ΜΗΧΑΝΙΚΑ  ΚΥΜΑΤΑΜΗΧΑΝΙΚΑ  ΚΥΜΑΤΑ

ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ:ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ:

ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ

Οι Γραφικές ΑπεικονίσειςΟι Γραφικές Απεικονίσεις

σταθερό xστην ταλάντωση ενόςσυγκεκριμένου σημείου του ελαστικού μέσου. Όταν στην εξίσωση του κύματος έχουμε σταθερό x, η σχέση που προκύπτει αναφέρεται στην ταλάντωση ενόςσυγκεκριμένου σημείου του ελαστικού μέσου. Για λόγους απλούστευσης των συλλογισμών ας χρησιμοποιήσουμε ένααριθμητικό παράδειγμα.

 Έστω κύμα με εξίσωση:                                                   .  Το κύμα τη χρονική στιγμή t=0 βρίσκεται στην αρχή των

 αξόνων. Ένα σημείο Μ, στη θέση x1=3m, δε ξεκινά αμέσως  την ταλάντωσή του, αλλά μετά από χρονικό διάστημα:

 Η φάση του σημείου Μ είναι:

 

  Περίπτωση 1η :  Σταθερή η θέση x  Περίπτωση 1η :  Σταθερή η θέση x

Απεικόνιση της φάσης φ=f(t) και της απομάκρυνσης y=f(t). Απεικόνιση της φάσης φ=f(t) και της απομάκρυνσης y=f(t).

Πρόκειται για μια πρωτοβάθμια εξίσωση του χρόνου:

2828

Η απομάκρυνση του Μ είναι:

 

2929

Όταν στην εξίσωση του κύματος θέσουμε σταθερή τιμή στη μεταβλητή t, «παγώνουμε» το χρόνο οπότε τα διάφορασημεία του ελαστικού μέσου «παγώνουν» στις απομακρύνσεις (y)  που έχουν εκείνη τη στιγμή.

Η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης (y) των σημείων του ελαστικού μέσου απ’ τη θέσηισορροπίας τους, μια δεδομένη χρονική στιγμή, σε συνάρτηση με τη θέση τους (x), λέγεταιστιγμιότυπο του κύματος. Είναι δηλαδή η χωρική απεικόνιση του ελαστικού μέσου μια δεδομένηχρονική στιγμή.Η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης (y) των σημείων του ελαστικού μέσου απ’ τη θέσηισορροπίας τους, μια δεδομένη χρονική στιγμή, σε συνάρτηση με τη θέση τους (x), λέγεταιστιγμιότυπο του κύματος. Είναι δηλαδή η χωρική απεικόνιση του ελαστικού μέσου μια δεδομένηχρονική στιγμή.

Έστω το κύμα με εξίσωση:

 

  Περίπτωση 2η :  Σταθερή η χρονική στιγμή t  Περίπτωση 2η :  Σταθερή η χρονική στιγμή t

Απεικόνιση της φάσης φ=f(x) και της απομάκρυνσης y=f(x). Απεικόνιση της φάσης φ=f(x) και της απομάκρυνσης y=f(x).

Όταν «παγώνουμε» το χρόνο κάποια χρονική στιγμή t1,η φάση του κύματος γίνεται μια πρωτοβάθμια εξίσωσητης θέσης x:

3030

Έστω ότι «παγώνουμε» το χρόνο τις χρονικές στιγμές  t1=1/2 s  και  t2=5/6 s.

Η φάση του κύματος τις χρονικές  αυτές στιγμές, είναι αντίστοιχα :

Τη στιγμή t1=1/2 s το κύμαέφτασε (φ=0) στη θέση x=1mΤη στιγμή t1=1/2 s το κύμαέφτασε (φ=0) στη θέση x=1m

Την ίδια στιγμή η φάση τηςαρχής (x=0) είναι 1,5π radΤην ίδια στιγμή η φάση τηςαρχής (x=0) είναι 1,5π rad

Τη στιγμή t1=5/6 s το κύμαέφτασε (φ=0) στη θέση x=5/3mΤη στιγμή t1=5/6 s το κύμαέφτασε (φ=0) στη θέση x=5/3m

Την ίδια στιγμή η φάση τηςαρχής (x=0) είναι 2,5π radΤην ίδια στιγμή η φάση τηςαρχής (x=0) είναι 2,5π rad

ΣτιγμιότυπαΣτιγμιότυπα

3131

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4: Το άκρο Ο μιας τεντωμένης χορδής, το  οποίο  ας θεωρηθεί η αρχή του άξονα x΄Ox,   τη χρονικήστιγμή t=0 αρχίζει να ταλαντώνεται εγκάρσια προς τη θετική φορά με πλάτος 10cm και συχνότητα f=0,5Ηz. Έτσιδημιουργείται  κύμα  με  πηγή  το  Ο, που  διαδίδεται  προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα χωρίς απώλειες ενέργειας.Το κύμα βρίσκεται στη θέση x=5m τη χρονική στιγμή t1=2,5s.

α. Να γράψετε την εξίσωση του κύματος.

 

β. Να γραφεί και να σχεδιαστεί το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή  t2=3,25s.

   

3232

Πως σχεδιάζουμε το στιγμιότυπο:Πως σχεδιάζουμε το στιγμιότυπο:

Υπάρχουν πολλές τεχνικές για να σχεδιάσουμε το  στιγμιότυπο ενός κύματος. Μια απ’ αυτές είναι η παρακάτω, με ταεξής βήματα:Υπάρχουν πολλές τεχνικές για να σχεδιάσουμε το  στιγμιότυπο ενός κύματος. Μια απ’ αυτές είναι η παρακάτω, με ταεξής βήματα:

Βρίσκουμε τη θέση x στην οποία έχει φτάσει το κύμα τη δεδομένη χρονική στιγμή.Βρίσκουμε τη θέση x στην οποία έχει φτάσει το κύμα τη δεδομένη χρονική στιγμή.

  

 

Χωρίζουμε την απόσταση που βρήκαμε παραπάνω σε τμήματα μήκους  «λ/4» το καθένα.  Σε περίπτωση πουπροκύπτει δεκαδικό πλήθος τμημάτων στρογγυλοποιούμε στον αμέσως μεγαλύτερο ακέραιο.Χωρίζουμε την απόσταση που βρήκαμε παραπάνω σε τμήματα μήκους  «λ/4» το καθένα.  Σε περίπτωση πουπροκύπτει δεκαδικό πλήθος τμημάτων στρογγυλοποιούμε στον αμέσως μεγαλύτερο ακέραιο.

 

3333

Πάνω στον άξονα x΄Ox σχεδιάζουμε Ν =7 ευθύγραμμα τμήματα και φτιάχνουμε το «πλέγμα»:Πάνω στον άξονα x΄Ox σχεδιάζουμε Ν =7 ευθύγραμμα τμήματα και φτιάχνουμε το «πλέγμα»:

Μετράμε απ’ το τέλος τον ακριβή αριθμό των τμημάτων που προέκυψε απ’ τη διαίρεση  (6,5 στο παράδειγμά μας) καιεκεί τοποθετούμε τον κατακόρυφο άξονα y΄Oy.Μετράμε απ’ το τέλος τον ακριβή αριθμό των τμημάτων που προέκυψε απ’ τη διαίρεση  (6,5 στο παράδειγμά μας) καιεκεί τοποθετούμε τον κατακόρυφο άξονα y΄Oy.

 

3434

Από την εξίσωση του στιγμιότυπου, βρίσκουμε την απομάκρυνση y του σημείου στη θέση x=-0,5 λ/4 και στη θέσηx=+0,5 λ/4  και σχεδιάζουμε το στιγμιότυπο:Από την εξίσωση του στιγμιότυπου, βρίσκουμε την απομάκρυνση y του σημείου στη θέση x=-0,5 λ/4 και στη θέσηx=+0,5 λ/4  και σχεδιάζουμε το στιγμιότυπο:

 

Στην (πιο συνηθισμένη)περίπτωση που  το πλήθοςτων τμημάτων «λ/4» είναιακέραιο, βρίσκουμε  τιςαπομακρύνσεις των σημείωνστις θέσεις:Στην (πιο συνηθισμένη)περίπτωση που  το πλήθοςτων τμημάτων «λ/4» είναιακέραιο, βρίσκουμε  τιςαπομακρύνσεις των σημείωνστις θέσεις:

         x=0 και x=λ/4         x=0 και x=λ/4

 

3535

γ. Να γράψετε και να  και να σχεδιάσετε την συνάρτηση φ=f(x)  τη χρονική στιγμή  t2=3,25s.

3636

3636

4242

Για τους μαθητές του φροντιστηρίουΓια τους μαθητές του φροντιστηρίου

ΑΝΟΔΙΚΟΑΝΟΔΙΚΟ

Συνεχίστε με το Δεύτερο ΜάθημαΣυνεχίστε με το Δεύτερο Μάθημα

©AΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ