ΜΗΧΑΝΙΚΗ  ΣΤΕΡΕΟΥΣΩΜΑΤΟΣΜΗΧΑΝΙΚΗ  ΣΤΕΡΕΟΥΣΩΜΑΤΟΣ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΑΝΑΛΥΤΙΚΗ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ

ΜΙΑΣΜΙΑΣ

ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ

11

Η δοκός ΑΓ του σχήματος έχει μήκος L=18m αποτελούμενη απόΗ δοκός ΑΓ του σχήματος έχει μήκος L=18m αποτελούμενη από

δυο ίσα τμήματα AM και ΜΓ διαφορετικής πυκνότητας, μεδυο ίσα τμήματα AM και ΜΓ διαφορετικής πυκνότητας, με

συνολικό βάρος wολ=l0Ν. Απ' το μέσο Β του τμήματος ΜΓσυνολικό βάρος wολ=l0Ν. Απ' το μέσο Β του τμήματος ΜΓ

αφήνουμε ελεύθερο να κυλίσει χωρίς ολίσθηση ένα ομογενή δίσκοαφήνουμε ελεύθερο να κυλίσει χωρίς ολίσθηση ένα ομογενή δίσκο

 ακτίνας R=0,5m και βάρους w2=l6N. Να υπολογίσετε: ακτίνας R=0,5m και βάρους w2=l6N. Να υπολογίσετε:

α. Την απόσταση του κέντρου μάζας της δοκού ΑΓ απ' το άκροα. Την απόσταση του κέντρου μάζας της δοκού ΑΓ απ' το άκρο

Α, αν είναι γνωστό ότι η δύναμη στο νήμα που στηρίζει τηΑ, αν είναι γνωστό ότι η δύναμη στο νήμα που στηρίζει τη

ράβδο στο άκρο Γ, τη στιγμή που ξεκινά ο δίσκος την κύλιση του, έχει μέτρο 15Ν.ράβδο στο άκρο Γ, τη στιγμή που ξεκινά ο δίσκος την κύλιση του, έχει μέτρο 15Ν.

β. Τη γωνία που σχηματίζει η δοκός ΑΓ με το οριζόντιο επίπεδο, αν κατά τη διάρκεια τηςκύλισης του δίσκου στο τμήμα ΒΜ, ο λόγος των μέτρων της συνολικής δύναμης  πουδέχεται προς τη συνολική ροπή είναι 4 και τη στιγμή που φτάνει στο μέσο Μ έχει γωνιακήταχύτητα  μέτρου 12 rad/s.β. Τη γωνία που σχηματίζει η δοκός ΑΓ με το οριζόντιο επίπεδο, αν κατά τη διάρκεια τηςκύλισης του δίσκου στο τμήμα ΒΜ, ο λόγος των μέτρων της συνολικής δύναμης  πουδέχεται προς τη συνολική ροπή είναι 4 και τη στιγμή που φτάνει στο μέσο Μ έχει γωνιακήταχύτητα  μέτρου 12 rad/s.

γ. Ποια είναι η ελάχιστη επιτρεπτή τιμή του συντελεστή οριακής στατικής τριβής στο τμήμαΒΜ ώστε ο δίσκος να μην ολισθήσει.γ. Ποια είναι η ελάχιστη επιτρεπτή τιμή του συντελεστή οριακής στατικής τριβής στο τμήμαΒΜ ώστε ο δίσκος να μην ολισθήσει.

δ. Πόσες στροφές κάνει ο δίσκος μέχρι να φτάσει στο σημείο Α, αν το τμήμα MA έχει τέτοιαεπιφάνεια ώστε να μην αναπτύσσεται τριβή στην κίνηση του δίσκου.δ. Πόσες στροφές κάνει ο δίσκος μέχρι να φτάσει στο σημείο Α, αν το τμήμα MA έχει τέτοιαεπιφάνεια ώστε να μην αναπτύσσεται τριβή στην κίνηση του δίσκου.

•Δεν δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου•Δεν δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου

•Δίνεται: g= 10m/s2.•Δίνεται: g= 10m/s2.

©AΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ

wδισκ

Ν

Τστατ

wδισκημφ

wδισκσυνφ

Σχεδιάζουμε τις δυνάμεις στον δίσκο.

•  Το βάρος του

•  Η κάθετη αντίδραση απ’ τη δοκό

•  Και η στατική τριβή

Αναλύουμε το βάρος στις συνιστώσες.

Επιλέγουμε άξονες

©AΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ

Απάντηση στην ερώτηση (α)Απάντηση στην ερώτηση (α)

α. α. Την απόσταση του κέντρου μάζας της δοκού ΑΓ απ' το άκρο Α, αν είναι γνωστό ότιη δύναμη στο νήμα που στηρίζει τη ράβδο στο άκρο Γ, τη στιγμή που ξεκινά οδίσκος την κύλιση του, έχει μέτρο 15Ν.

Ν

Τστατ

wδισκημφ

wδισκσυνφ

Σχεδιάζουμε τις δυνάμεις στη δοκό

•  Οι αντιδράσεις των δυνάμεων που άσκησε η δοκός στο δίσκο

Tστατ

Ν

• Το βάρος της  (λόγω ανομοιογένειας είναι   άγνωστη η θέση του κέντρου μάζας)

c.m

x

wδοκ

• Η δύναμη στο νήμα

ΤΝ

• Η αντίδραση στην άρθρωση

  ( με τη μορφή συνιστωσών)

Rx

Ry

©AΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ

Θα προσδιορίσουμε τη θέση του κέντρου μάζαςτης δοκού, απ’ την ισορροπία της.

Tστατ

Ν

c.m

x

wδοκ

ΤΝ

Rx

Ry

©AΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ

• Η συνολική ροπή των δυνάμεων στη δοκό είναι μηδενική

   ως προς οποιοδήποτε σημείο της. Επιλέγουμε το σημείο Α.

Έτσι λοιπόν η σχέση:

©AΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ

Tστατ

Ν

c.m

x

wδοκ

ΤΝ

Rx

Ry

γίνεται:

Αν γυρίσουμε στο δίσκο:

Ν

Τστατ

wδισκημφ

wδισκσυνφ

Έτσι:

Ν

Τστατ

wδισκημφ

wδισκσυνφ

Tστατ

Ν

Τν

wδισκ

Ν

Τστατ

wδισκημφ

wδισκσυνφ

©AΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ

Απάντηση στην ερώτηση (β)Απάντηση στην ερώτηση (β)

Ν

Τστατ

wδισκημφ

wδισκσυνφ

Tστατ

Ν

Τν

wδισκ

Ν

Τστατ

wδισκημφ

wδισκσυνφ

©AΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ

Ο δίσκος κυλά (χωρίς να ολισθαίνει), απ’ το B καιφτάνει στο M έχοντας γωνιακή ταχύτητα ω=12rad/s.

Έτσι απ’ το διάγραμμα τηςμεταφορικής ταχύτητας με το χρόνο:

Απάντηση στην ερώτηση (γ)Απάντηση στην ερώτηση (γ)

Η στατική τριβή, κατά την κάθοδο στο τμήμα (ΒΜ) είναι:

Για το μέτρο της στατικής τριβής όμως, πάντα πρέπει:

©AΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ

Το τμήμα αυτό της δοκού είναι λείο οπότε δεν υπάρχει η στατική τριβή,άρα και καμία δύναμη με ροπή ως προς τον άξονα περιστροφής. Έτσι ηγωνιακή ταχύτητα παραμένει σταθερή. Επομένως:

Απάντηση στην ερώτηση (δ)Απάντηση στην ερώτηση (δ)

©AΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ

wδισκ

Ν

wδισκημφ

wδισκσυνφ

Έτσι, απ’ τα διαγράμματα

 υcm=f(t) ω=f(t)

Για τους μαθητές του φροντιστηρίουΓια τους μαθητές του φροντιστηρίου

ΑΝΟΔΙΚΟΑΝΟΔΙΚΟ

© ΤΟΜΕΑΣ  ΦΥΣΙΚΗΣ