Dynamic_rolling

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥΣΩΜΑΤΟΣΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥΣΩΜΑΤΟΣ

Η δυναμική ανάλυση μιαςΗ δυναμική ανάλυση μιας

κύλισηςκύλισης

ΑΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥΑΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ

υκ

Το πεδίο της Γης στον τόπο του πειράματος έχει ένταση g=10N/kg.Το πεδίο της Γης στον τόπο του πειράματος έχει ένταση g=10N/kg.

©AΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ

Αυτός είναι ο Ανδρέας..Αυτός είναι ο Ανδρέας..

Ο Ανδρέας θέτει σε κίνηση αυτή την «περίεργη» διάταξηΟ Ανδρέας θέτει σε κίνηση αυτή την «περίεργη» διάταξη

(ξέρω αναρωτιέστε γιατί να τοκάνει αυτό ο Ανδρέας ..). (ξέρω αναρωτιέστε γιατί να τοκάνει αυτό ο Ανδρέας ..).

Ο κύλινδρος έχει μάζα Μ=8Κg, η ακτίνα του είναι R=1,2mενώ έχει εσωτερική αυλάκωση με ακτίνα r=0,8m. Ο κύλινδρος έχει μάζα Μ=8Κg, η ακτίνα του είναι R=1,2mενώ έχει εσωτερική αυλάκωση με ακτίνα r=0,8m.

Αβαρές και μη εκτατό νήμα (δεν είναιλάστιχο δηλαδή) είναι αρκετές φορές τυλιγμένο στην εσωτερική αυλάκωση και αυτό τονήμα τραβάει ο Ανδρέας, ασκώντας σταθερή οριζόντια δύναμη F=72N. Αβαρές και μη εκτατό νήμα (δεν είναιλάστιχο δηλαδή) είναι αρκετές φορές τυλιγμένο στην εσωτερική αυλάκωση και αυτό τονήμα τραβάει ο Ανδρέας, ασκώντας σταθερή οριζόντια δύναμη F=72N.

Στην περιφέρεια του κυλίνδρου υπάρχει άλλο ίδιο νήμα το οποίο μέσω μιας αβαρούςμικρής τροχαλίας, καταλήγει σε σώμα Σ, μάζας m=5Kg.Στην περιφέρεια του κυλίνδρου υπάρχει άλλο ίδιο νήμα το οποίο μέσω μιας αβαρούςμικρής τροχαλίας, καταλήγει σε σώμα Σ, μάζας m=5Kg.

O Ανδρέας τραβά, ο κύλινδρος κυλά χωρίς ολίσθηση και το σώμα Σ ανεβαίνει.O Ανδρέας τραβά, ο κύλινδρος κυλά χωρίς ολίσθηση και το σώμα Σ ανεβαίνει.

Και η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς άξονα κάθετοστις επίπεδες έδρες του και διερχόμενο απ’ το κέντρο τους:Και η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς άξονα κάθετοστις επίπεδες έδρες του και διερχόμενο απ’ το κέντρο τους:

©AΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ

Για να δούμε λοιπόν τι θέλει ο Ανδρέας να βρούμε…..Για να δούμε λοιπόν τι θέλει ο Ανδρέας να βρούμε…..

Α. Ποιες είναι οι επιταχύνσεις που αποκτούν, ο κύλινδρος και το σώμα Σ;Α. Ποιες είναι οι επιταχύνσεις που αποκτούν, ο κύλινδρος και το σώμα Σ;

Ας σχεδιάζουμε καταρχάς τις δυνάμεις που δέχονται τα σώματα:Ας σχεδιάζουμε καταρχάς τις δυνάμεις που δέχονται τα σώματα:

Τα βάρη των σωμάτων…Τα βάρη των σωμάτων…

wκwκ

Η αντίδραση του δαπέδου(με τη μορφή συνιστωσών)..Η αντίδραση του δαπέδου(με τη μορφή συνιστωσών)..

ΝΝ

ΤsΤs

Οι τάσεις των νημάτων..Οι τάσεις των νημάτων..

Τ1Τ1

wΣwΣ

Τ2Τ2

Η αντίδραση στον άξονατης αβαρούς τροχαλίας..Η αντίδραση στον άξονατης αβαρούς τροχαλίας..

ΑxΑx

ΑyΑy

Και χωρίς κάποια ιδιαίτερη σημασία γιατην επίλυση του προβλήματος, οι δυνάμειςπου δέχεται ο Ανδρέας.Και χωρίς κάποια ιδιαίτερη σημασία γιατην επίλυση του προβλήματος, οι δυνάμειςπου δέχεται ο Ανδρέας.

wΑwΑ

ΝΑΝΑ

ΤSΑΤSΑ

Προσοχή! Η στατική τριβήόταν δεν είναι προφανής,σχεδιάζεται θετική..Προσοχή! Η στατική τριβήόταν δεν είναι προφανής,σχεδιάζεται θετική..

©AΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ

wκwκ

ΝΝ

ΤsΤs

Τ1Τ1

wΣwΣ

Τ2Τ2

ΑxΑx

ΑyΑy

wκwκ

ΝΝ

ΤsΤs

Τ1Τ1

wκwκ

ΝΝ

ΤsΤs

Τ1Τ1

Ας αναλύσουμε την κύλισητου κυλίνδρου πρώτα.Ας αναλύσουμε την κύλισητου κυλίνδρου πρώτα.

Η κίνηση αυτή είναι σύνθετη,μεταφορική και περιστροφική.Η κίνηση αυτή είναι σύνθετη,μεταφορική και περιστροφική.

Για την μεταφορική πρώτα:Για την μεταφορική πρώτα:

Όταν μελετάμε τη μεταφορική κίνηση ενόςστερεού, «βλέπουμε» ΜΟΝΟ το κέντρο μάζαςτου, με ΟΛΕΣ τις δυνάμεις σ’ αυτό το σημείο.Όταν μελετάμε τη μεταφορική κίνηση ενόςστερεού, «βλέπουμε» ΜΟΝΟ το κέντρο μάζαςτου, με ΟΛΕΣ τις δυνάμεις σ’ αυτό το σημείο.

Η μεταφορική κίνηση είναι ευθύγραμμη επιταχυνόμενη, άρα:Η μεταφορική κίνηση είναι ευθύγραμμη επιταχυνόμενη, άρα:

©AΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ

Την περιστροφική επιταχυνόμενη κίνηση του κυλίνδρου, προκαλούν οι ροπές τωνδυνάμεων, οπότε οι δυνάμεις σχεδιάζονται ακριβώς στα σημεία που ασκούνται:Την περιστροφική επιταχυνόμενη κίνηση του κυλίνδρου, προκαλούν οι ροπές τωνδυνάμεων, οπότε οι δυνάμεις σχεδιάζονται ακριβώς στα σημεία που ασκούνται:

wκwκ

ΝΝ

ΤsΤs

Τ1Τ1

….. Υπομονή, στήνεται σιγά σιγά…..….. Υπομονή, στήνεται σιγά σιγά…..

wΣwΣ

Τ2Τ2

Για την ευθύγραμμη επιταχυνόμενη μεταφορική κίνηση του σώματος Σ, έχουμε:Για την ευθύγραμμη επιταχυνόμενη μεταφορική κίνηση του σώματος Σ, έχουμε:

Τ2Τ2

wΣwΣ

Τέλος για την κινητική κατάσταση της μικρήςαβαρούς τροχαλίας είναι:Τέλος για την κινητική κατάσταση της μικρήςαβαρούς τροχαλίας είναι:

ΑxΑx

ΑyΑy

Τ1Τ1

Τ2Τ2

Τ1Τ1

Τ2Τ2

ΑxΑx

ΑyΑy

Περιστροφική κίνηση:Περιστροφική κίνηση:

Μεταφορική κίνηση:Μεταφορική κίνηση:

©AΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ

Προσοχή! Μόνο στην περίπτωση τηςαβαρούς τροχαλίας, οι τάσεις τωννημάτων είναι ίσες.Προσοχή! Μόνο στην περίπτωση τηςαβαρούς τροχαλίας, οι τάσεις τωννημάτων είναι ίσες.

Ας συγκεντρώσουμε όλες τις εξισώσεις κίνησης που έχουμε:Ας συγκεντρώσουμε όλες τις εξισώσεις κίνησης που έχουμε:

Ξεκινάμε την επίλυση απ’ τις εξισώσεις του σώματος που εκτελεί την σύνθετη κίνηση,«φτιάχνοντας» λιγάκι την (3):Ξεκινάμε την επίλυση απ’ τις εξισώσεις του σώματος που εκτελεί την σύνθετη κίνηση,«φτιάχνοντας» λιγάκι την (3):

Η επιτάχυνση του σώματος Σ, λόγω του μηεκτατού νήματος, είναι ίδια με την επιτάχυνσητου σημείου A του κυλίνδρου. Έτσι:Η επιτάχυνση του σώματος Σ, λόγω του μηεκτατού νήματος, είναι ίδια με την επιτάχυνσητου σημείου A του κυλίνδρου. Έτσι:

αcm (Σ)αcm (Σ)

αcm (κυλ)αcm (κυλ)

αεπιτρ (R)αεπιτρ (R)

αcm (Σ)αcm (Σ)

αcm (κυλ)αcm (κυλ)

Έτσι:Έτσι:

Ακολουθεί η δεύτερη ερώτηση…….Ακολουθεί η δεύτερη ερώτηση…….

Β. Σε χρονικό διάστημα Δt=4s να υπολογίσετε πόσο μετατοπίστηκε το κέντρο μάζαςτου κυλίνδρου, πόσο ανυψώθηκε το σώμα Σ και πόσο νήμα ξετυλίχτηκε απ’ τονκύλινδρο.Β. Σε χρονικό διάστημα Δt=4s να υπολογίσετε πόσο μετατοπίστηκε το κέντρο μάζαςτου κυλίνδρου, πόσο ανυψώθηκε το σώμα Σ και πόσο νήμα ξετυλίχτηκε απ’ τονκύλινδρο.

Απ’ το διάγραμμα υcm=f(t), μπορούμε ναέχουμε όλες τις πληροφορίες για τηνκίνηση του κυλίνδρου!Απ’ το διάγραμμα υcm=f(t), μπορούμε ναέχουμε όλες τις πληροφορίες για τηνκίνηση του κυλίνδρου!

Το σχοινάκι που ανυψώνει το σώμα Σ, άρα και το σώμα Σ, έχει τα κινητικάχαρακτηριστικά του ανώτερου σημείου Α του κυλίνδρου:Το σχοινάκι που ανυψώνει το σώμα Σ, άρα και το σώμα Σ, έχει τα κινητικάχαρακτηριστικά του ανώτερου σημείου Α του κυλίνδρου:

ΑΑ

Τέλος το ξετύλιγμα του σχοινιού αφοράαποκλειστικά στην περιστροφική κίνησητου κυλίνδρου, δηλαδή:Τέλος το ξετύλιγμα του σχοινιού αφοράαποκλειστικά στην περιστροφική κίνησητου κυλίνδρου, δηλαδή:

Φυσικά και θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε αυτά τα μήκη και με τους τύπους τηςκινητικής, αλλά εδώ επέλεξα να σας δείξω έναν κάπως διαφορετικό τρόπο:Φυσικά και θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε αυτά τα μήκη και με τους τύπους τηςκινητικής, αλλά εδώ επέλεξα να σας δείξω έναν κάπως διαφορετικό τρόπο:

Όχι δεν τελείωσε ακόμη……..Όχι δεν τελείωσε ακόμη……..

Γ. Ποιος είναι ο ελάχιστος συντελεστής οριακής τριβής μs ώστε, με τη δύναμη πουτραβά το σχοινί του ο Ανδρέας, ο κύλινδρος να κυλά χωρίς να ολισθαίνει,.Γ. Ποιος είναι ο ελάχιστος συντελεστής οριακής τριβής μs ώστε, με τη δύναμη πουτραβά το σχοινί του ο Ανδρέας, ο κύλινδρος να κυλά χωρίς να ολισθαίνει,.

Η ερώτηση αυτή, φέρνει στο προσκήνιο την οριακή συνθήκη της στατικής τριβής:Η ερώτηση αυτή, φέρνει στο προσκήνιο την οριακή συνθήκη της στατικής τριβής:

Πρέπει τώρα να γυρίσουμε πίσω στις εξισώσεις των δυνάμεων και, γνωρίζοντας πλέοντις επιταχύνσεις, να υπολογίσουμε τη στατική τριβή και όποια άλλη δύναμη θέλουμε:Πρέπει τώρα να γυρίσουμε πίσω στις εξισώσεις των δυνάμεων και, γνωρίζοντας πλέοντις επιταχύνσεις, να υπολογίσουμε τη στατική τριβή και όποια άλλη δύναμη θέλουμε:

Προσοχή! To (-) σημαίνει ότι ηστατική τριβή είναι αντίθετη απ’αυτή που σχεδιάσαμε..Προσοχή! To (-) σημαίνει ότι ηστατική τριβή είναι αντίθετη απ’αυτή που σχεδιάσαμε..

…ευκολάκι….. Σε επόμενη παρουσίαση η ενεργειακή ανάλυση….…ευκολάκι….. Σε επόμενη παρουσίαση η ενεργειακή ανάλυση….

Για τους μαθητές του φροντιστηρίουΓια τους μαθητές του φροντιστηρίου

ΑΝΟΔΙΚΟΑΝΟΔΙΚΟ